Если коротко: в октаве 12 нот не потому, что так устроена природа, а потому что 12 — самое маленькое удобное число, при котором равные шаги почти точно попадают в самый важный после октавы интервал, чистую квинту с отношением частот 3:2. Если строить ноты квинтами, двенадцатая квинта почти возвращает нас в исходную ноту — на семь октав выше. Ни 10, ни 20 так не умеют: квинта там промахивается заметно для уха. А семь «белых» нот — это не все ноты, а лад, вырезанный из той же квинтовой цепочки.
Я Ozven, композитор. Для меня двенадцать клавиш в октаве — такая же данность, как буквы алфавита, и тем интереснее было однажды сесть и посчитать, откуда они взялись. Оказалось, за ними стоит одна дробь и очень красивая арифметика. Разберём по порядку: что такое нота с точки зрения физики, как из одного интервала вырастают пентатоника, мажорная гамма и вся клавиатура — и почему в мире вполне живут строи на 19, 24, 31 и 53 ступени.
Нота — это не точка, а отношение частот
Звук струны или голоса — не одна частота. Как объясняют акустики Университета Нового Южного Уэльса, периодическое колебание с частотой f раскладывается на гармоники f, 2f, 3f и так далее: основной тон плюс целый ряд призвуков-обертонов над ним. Ухо этого обычно не замечает, но именно обертоны решают, какие две ноты «сливаются», а какие спорят.
Возьмите две ноты, у которых частоты относятся как 2:1. У верхней все гармоники совпадают с чётными гармониками нижней — поэтому мы слышим почти одну и ту же ноту, только выше. Это октава — недаром в нотах она обозначается той же буквой, что и исходная нота. Следующее по простоте отношение — 3:2, квинта (до–соль). У неё совпадает уже каждая вторая гармоника верхней ноты с каждой третьей у нижней. Это самое «прочное» созвучие после октавы, на нём держатся и аккорды, и настройка струнных: скрипку и виолончель строят как раз по квинтам.
Дальше идут 4:3 (кварта), 5:4 (большая терция), 6:5 (малая терция). Про то, как терции красят аккорд в мажор и минор, у нас есть отдельный разбор — здесь же нас интересует другой вопрос: сколько нот нужно, чтобы все эти отношения поместились в одну октаву.
Квинтовая лестница: как из одной дроби вырастает гамма
Самый старый способ получить набор нот, известный со времён пифагорейцев, — шагать квинтами. Берём до, умножаем частоту на 3/2 — получаем соль. Ещё раз — ре (её сдвигаем на октаву вниз, чтобы остаться в пределах одной октавы). Дальше ля, ми, си, фа-диез и так далее. Каждая новая нота связана с предыдущей самым чистым после октавы интервалом.
И вот первый сюрприз. Остановитесь на пяти нотах подряд по квинтам — до, соль, ре, ля, ми — и разложите их по высоте: до, ре, ми, соль, ля. Это пентатоника, звукоряд, на котором держится огромная часть народной музыки мира, от китайской до шотландской. Добавьте ещё две квинты, начав с фа: фа–до–соль–ре–ля–ми–си. Это ровно семь белых клавиш пианино, мажорная гамма.
Почему именно на 5 и на 7 цепочку удобно остановить? Потому что в этих точках внутри октавы получаются шаги всего двух размеров. В пентатонике это целый тон (около 204 центов) и малая терция (около 294), в семинотной гамме — тон и полутон (около 90 центов). Звукоряд с двумя размерами шага легко запомнить и легко спеть: ухо держит его «узор». Сделайте шесть нот или восемь — и шагов станет три размера, узор рассыплется.
Отсюда ответ на соседний популярный вопрос «почему нот семь». Семь — это не все ноты, а лад: подмножество, вырезанное из квинтовой цепочки. Чёрные клавиши — следующие звенья той же цепочки: фа-диез, до-диез, соль-диез, ре-диез, ля-диез. Когда их двенадцать, все шаги снова двух размеров — около 90 и около 114 центов. Но эти размеры уже почти равны, и вот это — ключ ко всей истории.
Почему цепочка обрывается именно на двенадцати
Если пройти двенадцать чистых квинт от до, мы придём в си-диез. На клавиатуре это та же клавиша, что до, только на семь октав выше. Но по арифметике совпадение неполное: двенадцать квинт чуть-чуть перелетают семь октав. Физик и музыкант Джо Вулф в своём курсе по строям и темперации показывает то же самое на квартах: двенадцать чистых кварт дают отношение 31,6, а пять октав — 32,0. Расхождение около четверти полутона называется пифагорейской коммой, и круг квинт из-за него на самом деле спираль. Подробные цифры коммы и то, как её «размазывает» настройщик, я уже разбирал в статье про пианино, повторяться не буду.
Важно другое. Спираль почти замыкается, и почти замыкается она именно на двенадцатом шаге. Это значит, что двенадцать нот, построенных квинтами, ложатся по октаве почти равномерно — те самые полутоны в 90 и 114 центов. Если немного подровнять их до одинаковых 100 центов, каждая квинта испортится всего на 2 цента. Это равномерная темперация: двенадцать одинаковых полутонов с отношением частот корень двенадцатой степени из двух. Ухо двухцентовый промах квинты практически не замечает, а взамен мы получаем возможность играть в любой тональности на одних и тех же клавишах.
«Ага»-момент: охота за дробью 7/12
Теперь можно сформулировать вопрос точно. Делим октаву на N равных частей. Хотим, чтобы какое-то целое число этих частей как можно точнее совпало с квинтой. Квинта в долях октавы — это логарифм по основанию 2 от 3/2, то есть 0,58496… Число иррациональное: никакая дробь его точно не выразит, потому что степени тройки никогда не совпадают со степенями двойки. Значит, вопрос «сколько нот в октаве» превращается в вопрос «какой простой дробью лучше всего приблизить 0,585».
У математиков для этого есть инструмент — цепные дроби. Они выдают последовательность наилучших приближений, и для квинты она выглядит так: 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Посмотрите на знаменатели: 5, 12, 41, 53. Пять — пентатоника. Двенадцать — наша клавиатура: квинта = 7 полутонов из 12, то есть 0,5833 вместо 0,5850. Следующее улучшение случается только на 41, а по-настоящему точное — на 53 ступенях.
Между 12 и 41 ничего столь же удачного нет. Именно поэтому 12 — не просто традиция, а «сладкая точка»: число нот ещё помещается под ладонь и в голову, а квинта уже почти идеальна. Хотите лучше — придётся прыгать сразу к десяткам ступеней в октаве.
А что было бы при 10 или 20 нотах
Проверим на цифрах. Для каждого деления я посчитал, насколько ближайший доступный интервал промахивается мимо чистой квинты (3:2, 702 цента) и чистой большой терции (5:4, 386 центов). 100 центов — это наш полутон, расхождение в несколько центов на слух заметно уже в долгом аккорде как биения.
Ступеней → промах квинты → промах терции
5 → +18 → +94
7 → −16 → −44
10 → +18 → −26
12 → −2 → +14
19 → −7 → −7
20 → +18 → −26
24 → −2 → +14
31 → −5 → +1
53 → −0,1 → −1,4
Десять нот дают квинту в 720 центов: на 18 центов шире чистой, это почти пятая часть полутона, и аккорды на такой квинте «плывут». Двадцать нот не спасают: шаг там 60 центов, ближайшие кандидаты — 660 и 720, то есть та же неудачная квинта, только с лишними нотами. Логика простая: 20 = 2 × 10, а удвоение делений добавляет промежуточные ноты, но не улучшает уже имеющиеся интервалы. По той же причине 24 ноты (четвертитоны) дают ровно такую же квинту и терцию, как 12: это наши двенадцать нот плюс ещё двенадцать посередине.
Заметьте и цену двенадцати: терция в равномерном строе шире чистой почти на 14 центов. Квинты мы спасли, терции пожертвовали. Как раз здесь начинаются другие системы.
Кто живёт не в двенадцати
19 и 31: ради чистых терций
Если для вас важнее терции, чем квинты, выгоднее делить октаву на 19 или 31 часть. В 19-ступенном строе квинта и терция промахиваются примерно на 7 центов каждая — равномерно и терпимо. А 31 ступень даёт почти идеально чистую терцию (около 1 цента промаха) и хорошее приближение к седьмой гармонике. Эту систему описал ещё Христиан Гюйгенс в XVII веке, а в XX веке под неё построили настоящий инструмент: 31-тоновый орган Фоккера, сделанный фирмой Pels en Zoon и установленный в музее Тейлера в Харлеме.
53: почти пифагорейская точность
Пятьдесят три ступени — следующая точка из той самой цепочки дробей. Квинта там отличается от чистой меньше чем на десятую долю цента, а терция — примерно на полтора цента. Для клавишного инструмента это слишком много клавиш, но как теоретическая сетка для измерения интервалов такое деление используют в турецкой теории макамов.
Арабские макамы и индийские шрути
В арабской музыке есть интервалы «между» нашими: например, нейтральная терция, которая не мажорная и не минорная. Для их записи в XIX–XX веках закрепилась теоретическая сетка из 24 равных четвертитонов, и на Каирском конгрессе арабской музыки 1932 года её всерьёз обсуждали как стандарт. Но авторы открытого датасета записей этого конгресса подчёркивают: многие исследователи считают 24-тоновую шкалу скорее «концептуальной картой» для разговора об интервалах, чем точным описанием того, что играют. Их собственный разбор небольшой выборки записей намекает, что четвертитон на третьей ступени макама раст — скорее региональный выбор Египта: в иракских и тунисских записях его не видно.
Индийская традиция идёт ещё дальше от равных шагов. Семь ступеней звукоряда (саптака) в трактатах вроде «Натьяшастры» раскладываются на 22 шрути — микроинтервала, причём распределённых по ступеням неравномерно; почему именно 22, исследователи спорят до сих пор, см. например разбор Субхаша Кака. То есть «сколько нот в октаве» в Индии — вопрос не про клавиши, а про то, как тонко певец интонирует внутри раги.
Миф: «12 нот — это закон природы»
Природа даёт нам ряд гармоник, но этот ряд не укладывается в двенадцать нот. Седьмая гармоника звучит примерно на 31 цент ниже нашей малой септимы — почти треть полутона мимо любой клавиши. Одиннадцатая попадает ровно между фа и фа-диезом. Если бы 12 нот были «записаны в физике», самый естественный звук — обертоновый ряд одной струны — ложился бы на клавиатуру. Он не ложится.
Даже ощущение «приятно — неприятно» оказывается не вполне врождённым. В исследовании Джоша Макдермотта и коллег в Nature (2016) представители народа цимане из Боливийской Амазонии, почти не знакомые с западной музыкой, оценивали консонансы и диссонансы как одинаково приятные — при том что различали их не хуже других. Жители боливийских городов консонансы уже предпочитали, а жители США — ещё сильнее.
Честная формулировка звучит так: физика делает особенными октаву и квинту, арифметика подсказывает, что 12 — лучший компактный способ уложить квинты в октаву, а культура и удобство инструмента закрепили этот выбор. Это сильный компромисс, но не единственно возможный.
Что это значит для того, кто пишет музыку
Для меня практический вывод такой. Двенадцать нот — отличная сетка, но не клетка. Блюзовые «подтянутые» ноты, бенды на гитаре, скольжения голоса, восточные мелизмы — всё это звучит между клавишами, и именно поэтому звучит живо. Многие синтезаторы и программы для записи музыки умеют загружать альтернативные строи: можно попробовать 19 или 31 ступень и услышать, как меняются терции, не вставая из-за стола.
И ещё одно: если вам режет слух мажорный аккорд, сыгранный на синтезаторе с чистым синусом, — это не ваше ухо капризничает. Это те самые 14 центов терции, которые мы когда-то отдали ради свободы модуляции. Ансамбли без клавишных — хоры, струнные квартеты — при этом могут подстраивать терции на слух, отступая от равномерного строя к чистым отношениям.
Коротко
— Октава (2:1) и квинта (3:2) — самые простые отношения частот, на них держится почти любая музыка.
— Шагая квинтами, на 5 нотах получаем пентатонику, на 7 — мажорную гамму (белые клавиши), на 12 — всю клавиатуру.
— 12 квинт почти равны 7 октавам, поэтому 12 одинаковых полутонов портят квинту всего на 2 цента.
— 10 и 20 ступеней дают квинту с промахом в 18 центов; следующее улучшение после 12 — только на 41 и 53.
— 19, 24, 31, 53 ступени, арабские макамы и индийские шрути — рабочие альтернативы, а не экзотика.
— 12 нот — удачный компромисс физики, арифметики и культуры, а не закон природы.
Пока нет комментариев