Если коротко: автобусы ходят не по расписанию в первую очередь потому, что ровный интервал неустойчив. Стоит одной машине чуть опоздать, на остановках перед ней набирается больше людей, она стоит дольше и опаздывает ещё сильнее, а следующая за ней идёт по пустым остановкам и догоняет. А пассажир страдает дважды: средний интервал «12 минут» на табличке честный, но человек, пришедший наугад, почти всегда попадает в длинный промежуток. Поэтому чем неровнее идут машины, тем дольше вы ждёте, даже если автобусов на линии столько же.
Это рубрика «Обо всём», и сегодня у нас математика, с которой каждый сталкивается на остановке, но мало кто знает, что у неё есть имя. Поводом стала популярная на этой неделе статья на Хабре: по мотивам материала «Почему автобус никогда не приходит вовремя, или Теорема о том, что вам не повезло» я пересобрал объяснение по-своему, пересчитал примеры на других числах и сверил выводы с исследованиями транспортников.
Табличка не врёт: почему ждать приходится дольше половины интервала
Начнём с идеального мира. Автобус приходит строго раз в 12 минут, а вы выходите из дома, не глядя на часы. В такой ситуации ваш момент прихода равномерно размазан по двенадцатиминутному отрезку: иногда вы появляетесь за секунду до автобуса, иногда сразу после. В среднем получается ровно половина интервала, то есть 6 минут. Интуиция с этим согласна.
Теперь чуть испортим картину, не трогая среднее. Пусть автобусы идут через 4 минуты, потом через 20, потом снова 4 и 20. Средний интервал всё те же (4 + 20) / 2 = 12 минут, и перевозчик в отчёте будет совершенно прав. Но посмотрите на это глазами пассажира. Из каждых 24 минут 20 приходятся на длинный промежуток и только 4 на короткий. Значит, случайно пришедший человек в пяти случаях из шести окажется внутри двадцатиминутной «дыры».
В длинном промежутке он ждёт в среднем 10 минут, в коротком 2. Взвешиваем по времени: (20 × 10 + 4 × 2) / 24 ≈ 8,7 минуты. Автобусов столько же, интервал тот же, а стоять приходится почти на половину дольше. Никто не обманывает, просто два разных вопроса — «как часто ходят автобусы» и «сколько ждёт пассажир» — имеют разные ответы.
Парадокс инспекции: почему вы почти всегда попадаете в длинный промежуток
У этого эффекта есть название — парадокс инспекции (inspection paradox), в бытовых пересказах его ещё называют парадоксом времени ожидания. Суть в том, что вы выбираете не случайный интервал между автобусами, а случайный момент времени. А моментов времени больше всего как раз в длинных интервалах — на то они и длинные. Короткий промежуток проскакивает почти пустым, длинный собирает на остановке толпу, и вы обычно в этой толпе.
Тот же механизм прячется в местах, где автобусов нет вовсе. Самый известный пример — «парадокс дружбы»: у ваших друзей в среднем больше друзей, чем у вас. Его в 1991 году описал социолог Скотт Фельд в работе «Why Your Friends Have More Friends Than You Do»: человека с сотней знакомых вы встречаете в списках друзей в сто раз чаще, чем затворника с одним другом, поэтому общительные люди перепредставлены в любой выборке «через друзей». Остановка устроена так же: длинные интервалы перепредставлены в выборке «через пассажиров».
Если довести неровность до предела, получается совсем грустно. Когда автобусы приходят парами (0 и 24 минуты), ждать приходится в среднем 12 минут — как если бы линию обслуживал один автобус раз в 24 минуты, только с двумя водителями. А если машины слиплись по три (0, 0 и 36), среднее ожидание вырастает до 18 минут, втрое больше идеальных шести.
Формула ожидания: налог на неровность растёт квадратично
Всё, что мы посчитали руками, сворачивается в одну формулу. Вероятность попасть в интервал длиной T пропорциональна самой длине T, а внутри него вы ждёте в среднем T/2. Перемножаем и усредняем — получается, что среднее ожидание равно E[T²] / (2 · E[T]). Если немного переписать, выходит человеческий вид:
ожидание = ½ × средний интервал × (1 + CV²), где CV — коэффициент вариации: стандартное отклонение интервалов, делённое на их среднее.
Первый множитель — то, что обещает табличка на остановке. Второй — налог на неровность. При идеальном графике CV = 0, и налог нулевой. Если автобусы приходят совершенно случайно, независимо друг от друга (математики называют это пуассоновским потоком), CV = 1, и ожидание удваивается: при среднем интервале 12 минут вы ждёте те же 12, а не 6.
Это не абстракция. Ровно эту формулу используют регуляторы общественного транспорта. Лондонский Transport for London и сингапурское транспортное ведомство оценивают частые маршруты не по пунктуальности, а по «избыточному ожиданию» (Excess Wait Time): разнице между фактическим ожиданием, посчитанным как сумма квадратов интервалов, делённая на удвоенную их сумму, и тем, что было бы при идеальном графике. Как описывают исследователи сингапурской программы, если автобус приходит идеально ровно, этот показатель равен нулю, а при слипании машин растёт. В Лондоне, по данным TfL, которые приводят авторы, избыточное ожидание на частых маршрутах после введения контрактов с премиями за регулярность снизилось с 2,2 до 1,0 минуты.
Из формулы следует вывод, который переворачивает привычную логику «больше автобусов — меньше ждать». Частота входит в неё линейно, а разброс квадратично. Сравните сами:
Маршрут → Средний интервал → CV → Среднее ожидание
Строго по графику → 12 мин → 0 → 6,0 мин
Чередование 4 и 20 → 12 мин → 0,67 → 8,7 мин
Случайный поток → 12 мин → 1,0 → 12,0 мин
Парами → 12 мин → 1,0 → 12,0 мин
По три → 12 мин → 1,41 → 18,0 мин
Строго по графику, но реже → 18 мин → 0 → 9,0 мин
Маршрут «раз в 12 минут» с разбросом CV = 0,7 даёт около 8,9 минуты ожидания. Идеально ровный маршрут раз в 18 минут — 9,0. То есть треть машин на неровной линии фактически работает не на пассажира, а на компенсацию беспорядка. Автор оригинальной статьи на Хабре, кстати, проверила это на реальном маршруте: две недели записывала прибытия по открытым данным городского трекинга и получила CV около 0,7 утром и 0,9 вечером — то есть вечерний маршрут с расписанием по ожиданию был почти неотличим от полного хаоса.
Почему автобусы ходят парами: петля, которая раскачивает сама себя
Хорошо, неровность вредна. Но откуда она берётся, если у маршрута есть расписание, диспетчер и водители, которые хотят ехать по графику? Ответ — в устройстве самой системы. Ровный интервал между автобусами похож на карандаш, поставленный на острие: теоретически он может стоять, но любое отклонение не гасится, а усиливается.
Механизм такой. Автобус где-то задержался на минуту: пробка, длинный светофор, человек с коляской. За эту минуту на следующих остановках скопилось больше пассажиров, чем обычно. Каждому нужно войти и оплатить проезд, поэтому стоянки становятся длиннее, и автобус отстаёт ещё сильнее. А чем сильнее отстал, тем больше людей ждут его впереди. Это положительная обратная связь — петля, которая подпитывает сама себя.
Следующий автобус живёт в зеркальном мире. Остановки перед ним только что «подмёл» опоздавший сосед, людей мало, стоянки короткие, и он идёт быстрее графика. Расстояние между машинами сокращается, пока они не поедут бампер в бампер. Отсюда и знакомая картина: первый автобус битком, второй полупустой, третий почти пустой.
Явление называется bus bunching, и оно настолько универсально, что его изучают в отрыве от конкретного города. Мексиканские исследователи Карлос Гершенсон и Луис Пинеда в 2009 году смоделировали линию в многоагентной симуляции и показали, что без специальных правил равные интервалы в ней неустойчивы всегда, а сама статья так и называется: «Почему общественный транспорт не приходит вовремя?». Важная деталь их модели: слипание не требует ни плохих водителей, ни аварий. Достаточно того, что время стоянки зависит от числа ожидающих.
Как с этим борются транспортники
Раз проблема в разбросе, лечат именно разброс. Самый старый приём — придерживание (holding): автобус, который пришёл на контрольную точку раньше, специально стоит и ждёт. Изнутри салона это выглядит издевательством, но пассажиры в автобусе теряют минуту, а все, кто ждёт на остановках впереди, выигрывают больше. Ещё в 1972 году Эдуардо Осуна и Гордон Ньюэлл формально разобрали эту задачу для идеализированного маршрута и показали, что оптимальная стратегия придерживает машины так, чтобы сохранять почти равные интервалы отправления, а не отпускать каждую, как только она готова.
Следующий шаг — перестать ориентироваться на часы. Если цель — ровный зазор, то и регулировать надо по зазору: смотреть, далеко ли сзади следующая машина, а не опаздываешь ли ты по бумажному графику. Именно это предложили Джон Бартольди и Дональд Айзенштейн в работе о самокоординирующемся маршруте: автобусы отказываются от фиксированного расписания, а время стоянки на контрольной точке рассчитывается так, чтобы промежутки между машинами выравнивались сами. Схему опробовали на кампусном маршруте Технологического института Джорджии.
Третья группа мер бьёт по самому звену петли — по длине стоянки. Чем меньше время посадки зависит от количества людей, тем слабее обратная связь: вход во все двери, оплата картой у валидаторов вместо очереди к водителю, низкий пол. И наконец, выделенные полосы и приоритет на светофорах уменьшают число тех самых первых маленьких задержек, с которых всё начинается. Ни одна из мер не убирает петлю полностью, но каждая уменьшает CV, а он, как мы помним, входит в формулу в квадрате.
Что из этого следует для пассажира
Хорошая новость: формула про случайного пассажира. Её главное допущение в том, что вы приходите на остановку наугад. Как только вы выходите из дома под конкретный автобус, глядя на онлайн-карту, вы перестаёте быть случайной точкой на оси времени, и парадокс на вас почти не действует. Поэтому живой трекинг полезен даже на частых маршрутах, где расписание вроде бы ни к чему: он выводит вас из-под «налога на неровность».
Второе следствие касается ощущения «я уже двадцать минут стою, сейчас-то точно приедет». Если автобусы идут совсем хаотично, близко к случайному потоку, у этого потока нет памяти: сколько бы вы ни простояли, ожидаемое время до следующего автобуса остаётся прежним. Реальные маршруты всё-таки не полностью случайны, расписание немного помогает, но решать, идти ли пешком или вызывать такси, разумнее по карте, а не по уже потраченным минутам.
Третье — практичное. Если из-за поворота показались три автобуса подряд, первый почти наверняка самый полный: именно он собрал всех, кто копился на остановках. Следующие обычно свободнее, так что, если есть возможность, имеет смысл пропустить первый.
И напоследок про ощущение «мне всегда не везёт». Часть его — честная математика парадокса инспекции: длинные промежутки вам действительно достаются чаще, чем их доля в расписании. Часть — память, которая лучше запоминает двадцать минут на ветру, чем два удачных утра. Как отличать реальную закономерность от впечатления, мы разбирали в статье о том, почему совпадение — ещё не причина.
Коротко
Средний интервал на табличке обычно честный. Но пассажир, пришедший наугад, чаще попадает в длинные промежутки, поэтому его среднее ожидание больше половины интервала. Это парадокс инспекции.
Ожидание = ½ интервала × (1 + CV²). Неровность бьёт квадратично: автобусы, слипшиеся по три, превращают 6 минут ожидания в 18 при том же числе машин.
Ровный интервал неустойчив сам по себе. Опоздавший автобус собирает больше людей и отстаёт сильнее, следующий догоняет его по пустым остановкам. Виноваты не водители, а обратная связь.
Лечат разброс, а не частоту. Придерживание на контрольных точках, регулирование по интервалу вместо часов, быстрая посадка и выделенные полосы.
Пассажиру помогает трекинг. Выходя под конкретный автобус, вы выпадаете из «случайных» и перестаёте платить налог на неровность.
Пока нет комментариев