Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, разделите числитель на знаменатель: три четверти — это 3 : 4 = 0,75, а три восьмых — 3 : 8 = 0,375. Способ работает всегда, потому что дробная черта и есть знак деления. Второй, более быстрый путь — домножить числитель и знаменатель так, чтобы внизу вышло 10, 100 или 1000: 7/20 = 35/100 = 0,35.
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную: главный способ
В школе это проговаривают мельком, а мысль ключевая: дробь — не особый значок, а записанное деление. Черта посередине заменяет двоеточие. Запись 3/4 буквально означает «три разделить на четыре», и как только вы это принимаете, половина непонимания исчезает.
Отсюда алгоритм в одну строку: числитель делим на знаменатель — получаем десятичную запись.
Покажу на 3/8. Три на восемь нацело не делится, поэтому пишем «0,» и приписываем к тройке ноль. 30 : 8 — это 3, и 6 в остатке. Приписываем ноль к остатку: 60 : 8 — это 7, остаток 4. Ещё раз: 40 : 8 — это 5, остаток 0. Остатка нет, деление закончилось: 0,375.
Если числитель меньше знаменателя, ответ начнётся с «0,» — отличная встроенная проверка.
Второй способ: домножить знаменатель до 10, 100 или 1000
Десятичная запись — это дробь со знаменателем 10, 100 или 1000. Значит, если знаменатель удаётся дотянуть до круглого числа простым умножением, деление уголком не нужно. Правило одно: на сколько умножили знаменатель, на столько же умножаем числитель.
7/20: умножаем верх и низ на 5 → 35/100 → 0,35.
9/25: умножаем на 4 → 36/100 → 0,36.
3/5: умножаем на 2 → 6/10 → 0,6.
1/8: умножаем на 125 → 125/1000 → 0,125.
Способ удобнее деления, когда знаменатель «дружелюбный»: 2, 4, 5, 8, 16, 20, 25, 50, 125. Такие множители держатся в голове. А если внизу 7 или 13, домножать бессмысленно — только честное деление.
Таблица: дробь → десятичная → как это получилось
1/2 → 0,5 — 1 : 2, или домножить на 5: 5/10
1/4 → 0,25 — домножить на 25: 25/100
1/5 → 0,2 — домножить на 2: 2/10
3/4 → 0,75 — 3 : 4, или домножить на 25: 75/100
1/8 → 0,125 — домножить на 125: 125/1000
3/8 → 0,375 — 3 : 8 уголком
5/16 → 0,3125 — домножить на 625: 3125/10000
7/20 → 0,35 — домножить на 5: 35/100
9/25 → 0,36 — домножить на 4: 36/100
1/3 → 0,(3) — деление не заканчивается
1/6 → 0,1(6) — период начинается со второго знака
1/7 → 0,(142857) — период из шести цифр
Почему одни дроби переводятся ровно, а другие нет
Это место объясняют реже всего, а правило простое и точное: дробь даёт конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя — после сокращения! — стоят только двойки и пятёрки.
Причина видна, если вспомнить, из чего состоит десятка: 10 = 2 · 5. Наша система построена на степенях десятки и потому дружит ровно с этими двумя множителями. Знаменатель из одних двоек и пятёрок всегда дотягивается до 10, 100 или 1000. Тройку, семёрку или одиннадцать не дотянуть, и деление зацикливается.
3/8: восьмёрка — это 2 · 2 · 2 → 0,375, ровно.
7/20: двадцать — это 2 · 2 · 5 → 0,35, ровно.
1/3: в знаменателе тройка → 0,(3), бесконечно.
5/12: двенадцать — это 2 · 2 · 3, тройка всё портит → 0,41(6).
Слова «после сокращения» здесь не для красоты. Возьмите 6/15: внизу тройка, хочется сказать «бесконечная». Но дробь сокращается на 3 и превращается в 2/5, а это ровно 0,4.
Десятичная запись конечна ровно тогда, когда знаменатель несократимой дроби раскладывается только на двойки и пятёрки. Всё остальное уходит в период.
Периодическая дробь: как записать и как прочитать
Если деление зациклилось, повторяющуюся группу цифр называют периодом и берут в круглые скобки: 1/3 = 0,(3), 2/3 = 0,(6), 1/7 = 0,(142857). Читают так: «ноль целых, три в периоде».
Период начинается не всегда сразу. У 1/6 первая цифра после запятой своя, а дальше повторение: 0,1(6). Такую дробь называют смешанной периодической; у 5/12 то же самое — 0,41(6). Длина периода всегда меньше знаменателя: у семёрки он максимально длинный из возможных — шесть цифр.
Как перевести периодическую дробь обратно в обыкновенную
Красивый факт: путь работает в обе стороны. Любая периодическая дробь — это обыкновенная дробь, и записать её можно точно.
Если период начинается сразу после запятой, в числитель идёт период, а в знаменатель — столько девяток, сколько в периоде цифр:
0,(7) = 7/9
0,(3) = 3/9 = 1/3
0,(12) = 12/99 = 4/33
Если между запятой и периодом есть «свои» цифры, правило чуть длиннее. Выписываем все цифры до конца первого периода как целое число и вычитаем цифры до начала периода. В знаменателе — девятки по числу цифр периода и нули по числу цифр перед ним:
0,1(6) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6
0,4(3) = (43 − 4)/90 = 39/90 = 13/30
По тому же правилу 0,(9) = 9/9 = 1. Не «почти единица», а ровно единица.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную
Обратный ход ещё короче и делается в три шага. Считаем знаки после запятой. Пишем эти цифры в числитель, а в знаменатель — единицу с таким же количеством нулей: один знак — 10, два — 100, три — 1000. Сокращаем.
0,4 → один знак → 4/10 → на 2 → 2/5.
0,75 → два знака → 75/100 → на 25 → 3/4.
0,125 → три знака → 125/1000 → делим на 5 трижды: 25/200, 5/40, 1/8.
0,05 → 5/100 → 1/20.
Целую часть можно отложить и вернуть в конце: 2,6 = 2 целых и 3/5. Неправильной дробью то же число — 26/10 = 13/5.
Как перевести смешанную дробь в неправильную — и обратно
Смешанная дробь — это целая часть плюс дробная: 2 целых и 3/4. Неправильная — та, где числитель больше знаменателя: 11/4. Одно и то же число в двух записях.
Из смешанной в неправильную: умножаем целую часть на знаменатель, прибавляем числитель, знаменатель не трогаем.
2 целых 3/4 = (2 · 4 + 3)/4 = 11/4
3 целых 2/5 = (3 · 5 + 2)/5 = 17/5
5 целых 1/8 = (5 · 8 + 1)/8 = 41/8
Обратно: делим числитель на знаменатель с остатком. Частное — целая часть, остаток — новый числитель.
17/5 = 3 и 2 в остатке = 3 целых 2/5
23/4 = 5 и 3 в остатке = 5 целых 3/4
Как сокращать дроби быстро: признаки делимости
Сокращение — самая скучная часть работы, и ускоряют её признаки делимости.
На 2 делится число с чётной последней цифрой: 0, 2, 4, 6 или 8.
На 5 — то, что заканчивается на 0 или 5.
На 3 — то, у чего сумма цифр делится на 3. Проверим 372: 3 + 7 + 2 = 12, значит и 372 делится: 372 : 3 = 124.
На 9 — то, у чего сумма цифр делится на 9. Возьмём 8145: 8 + 1 + 4 + 5 = 18, значит делится: 8145 : 9 = 905.
На практике: дробь 36/100 — обе цифры чётные, делим на 2 → 18/50, ещё раз на 2 → 9/25. Дальше некуда. Проверка: 9 : 25 = 0,36.
Где это нужно в жизни, а не в тетради
Дроби кажутся школьным упражнением ровно до того момента, когда вы выходите из дома.
Скидки. «Треть цены» и «минус 33%» — почти одно и то же, но дробью считать быстрее: куртка за 2400 со скидкой в треть — это 2400 : 3 = 800 рублей скидки, платим 1600. А привычные 25% — просто 1/4.
Счёт в кафе. 3860 рублей на четверых — это 3860 : 4 = 965 рублей с человека.
Кухня. «3/4 стакана» при стакане в 200 мл — это 0,75 · 200 = 150 мл. А 2/3 стакана — 133 мл с небольшим: запись бесконечна, но на кухне хватает округления.
Дюймы. Трубы, ключи и свёрла размечены в дюймах, а дюйм — 25,4 мм. Ключ на 3/8 дюйма: 0,375 · 25,4 ≈ 9,53 мм. Полдюйма — 12,7 мм, 5/8 дюйма — около 15,88 мм.
Частые ошибки и проверка без калькулятора
Ошибка первая и самая массовая: делят наоборот. Вместо 3 : 4 считают 4 : 3 и получают 1,333 вместо 0,75. Спасает правило: сверху то, что делим. Если дробь правильная, ответ обязан быть меньше единицы.
Ошибка вторая: теряют минус. Дробь −3/4 — это −0,75.
Ошибка третья: забывают сократить. 36/100 формально верно, но в тетради ждут 9/25.
И про самопроверку. Прикидка порядка величины стоит дешевле любых вычислений: 7/8 чуть меньше единицы, значит ответ около 0,9 — и 0,875 годится, а 1,14 нет. 3/8 меньше половины, значит меньше 0,5. Секунда работы, а грубые промахи ловятся почти все.
Частые вопросы
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную без калькулятора?
Двумя путями. Либо разделить числитель на знаменатель уголком — работает всегда. Либо домножить верх и низ до знаменателя 10, 100 или 1000 — работает, когда знаменатель состоит только из двоек и пятёрок: 7/20 = 35/100 = 0,35.
Почему 1/3 не переводится в десятичную ровно?
Потому что в знаменателе тройка, а десятичная система построена на десятке, то есть на 2 · 5. Тройку до круглого числа не дотянуть никаким умножением, поэтому деление зацикливается и даёт 0,(3) — бесконечную периодическую дробь.
Как записать бесконечную периодическую дробь?
Повторяющуюся группу цифр берут в круглые скобки: 0,(3), 0,(6), 0,(142857). Если период начинается не сразу, цифры до него остаются снаружи: 1/6 = 0,1(6). Читается как «ноль целых, один, шесть в периоде».
Как перевести 0,375 в обыкновенную дробь?
Три знака после запятой — значит знаменатель 1000: 375/1000. Дальше сокращаем на 5: 75/200, ещё на 5: 15/40, ещё на 5: 3/8. Ответ — 3/8.
Чем неправильная дробь отличается от смешанной?
Это одно и то же число в разной одежде. В неправильной числитель больше знаменателя — 11/4. В смешанной целая часть вынесена вперёд — 2 целых 3/4. Для вычислений удобнее неправильная, для чтения — смешанная.
Любую ли десятичную дробь можно перевести в обыкновенную?
Конечную — да, всегда. Бесконечную периодическую — тоже: по правилу девяток и нулей, 0,1(6) = 15/90 = 1/6. А вот бесконечную непериодическую записать обыкновенной дробью нельзя в принципе: такие числа называют иррациональными, к ним относятся число пи и корень из двух.
Пока нет комментариев